Question

如图所示，长为L＝6 cm的细绳上端固定在一平台右端点A的正上方O点，下端系有质量为m＝0.5 kg的摆球；倾角为θ＝30°的斜面的底端D点处于A点的正下方；劲度系数为k＝50 N/m的水平轻弹簧左端固定在墙上，无形变时右端在B点，B、A两点间距为x₁＝10 cm.一质量为2m的物块靠在弹簧右端但不粘连，并用水平向左的推力将物块缓慢向左移动，当推力大小为F＝15 N时物块静止于C点，撤去推力后在A点处停下，若将物块质量调整为m，物块仍在C点由静止释放，之后在A点与静止摆球碰撞，碰后物块停在A点而摆球恰好在竖直平面内做圆周运动，并从物块左侧与物块碰撞，碰后物块离开平台，之后恰好垂直撞到斜面上，物块和摆球均视为质点且碰撞时间不计，两次碰撞中物块和摆球均交换速度，物块与平台间的动摩擦因数处处相同，重力加速度取g＝10 m/s²，求：

（1）质量为m的物块离开A点时的速率v₀；

（2）物块与平台间的动摩擦因数μ；

（3）A、D两点间的高度差H。

Answer

（1） （2）0.5 （3）0.75 m

【解析】

（1）摆球恰好在竖直平面内做圆周运动，则到达最高点时有

第一次碰撞后摆球的速率与物块离开A点时的速率相等，则根据机械能守恒定律有

解得

v0＝m/s

（2）设质量为2m的物块在C点静止时弹簧被压缩长度为x2，则由平衡条件有

F＝2μmg＋kx2

设从撤去推力后到物块停在A点的过程中弹簧对物块做的功为W，则根据动能定理有

W－2μmg(x2＋x1)＝0

由题意知，质量为m的物块到达A点时速率为v0，则根据动能定理有

W－μmg(x2＋x1)＝mv02－0

解得

μ＝0.5

(由于F>2μmg，故μ＝1.5舍去)

（3）碰后质量为m的物块做平抛运动，则水平方向

x＝v0t

竖直方向

h＝gt2

vy＝gt

物块恰好垂直撞到斜面上，则

由几何关系有

H－h＝xtanθ

解得

H＝0.75 m