Question

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙．一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力．设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（  ）

A.小球在同心圆轨道内运动过程中，机械能一定减小

B.若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为

C.若小球在运动过程中机械能守恒，则v₀一定不小于

D.若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v₀一定大于

Answer

BD

【解析】

若小球在最低点的速度较小，当小球只在过圆心的水平线以下运动，则小球只于外轨接触，此时小球的机械能守恒，选项A错误；若初速度v0比较小，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减少，经过足够长时间，小球最终可能在圆心下方做往复运动，最高点与圆心等高，机械能为mgR，故B正确．若使小球始终做完整的圆周运动，小球应沿外圆运动，在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，小球恰好运动到最高点时速度设为v，则有

由机械能守恒定律得：mv02=mg•2R+mv2，小球在最低点时的最小速度v0=，所以若使小球始终做完整的圆周运动，则v0一定不小于，若小球只在过圆心的水平线以下运动，则mv02=mgR，解得 ，则若小球在运动过程中机械能守恒，小球在最低点的速度应小于等于，或者大于等于，故C错误．如果内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：mv02=mg•2R，小球在最低点时的速度为 v0=，由于内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度v0一定大于，故D正确．故选BD.