Question

如图所示，在圆心为O、半径R=5cm的竖直圆形区域内，有一个方向垂直于圆形区域向外的匀强磁场，竖直平行放置的金属板连接在图示电路中，电源电动势E=220V、内阻r=5，定值电阻的阻值R₁=16，滑动变阻器R₂的最大阻值R_max=199；两金属板上的小孔S₁、S₂与圆心O在垂直于极板的同一直线上，现有比荷的带正电粒子由小孔S₁进入电场加速后，从小孔S₂射出，然后垂直进入磁场并从磁场中射出，滑动变阻器滑片P的位置不同，粒子在磁场中运动的时间也不同，当理想电压表的示数U=100V时，粒子从圆形区域的最低点竖直向下穿出磁场，不计粒子重力和粒子在小孔S₁处的初速度，取tan68.2°=2.5，求：

(1)U=100V时，粒子从小孔S₂穿出时的速度大小v₀；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小B；

(3)粒子在磁场中运动的最长时间t．(结果保留两位有效数字)

Answer

（1）8×103m/s（2）0.5T（3）1.5×10-5s

【解析】

（1）粒子在电场中加速，由动能定理即可求出穿出时的速度大小；（2）粒子在磁场中做圆周运动，根据几何关系求出半径，再根据牛顿第二定律即可求出磁感应强度；（3）根据闭合电路的欧姆定律、动能定理、牛顿第二定律和几何关系即可求出粒子在磁场中运动的最长时间．

（1）对粒子在电场中的运动过程中，由动能定理有：

解得：

（2）粒子从圆形区域的最低点竖直向下穿出磁场，则粒子在磁场中的速度方向偏转了，粒子在磁场中做圆周运动的径迹如图甲所示：

由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为：

由牛顿第二定律有：

解得：

（3）两金属板间的电压越小，粒子经电场加速后的速度越小，粒子在磁场中做圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，在磁场中运动的时间越长，所以滑片在变阻器的左端时，粒子在磁场中运动的时间最长，由闭合电路的欧姆定律有：

两金属板间的最小电压为

设粒子加速后的速度大小为v，由动能定理有：

设粒子做圆周运动的半径为，由牛顿第二定律有：

解得：

粒子进入磁场后的径迹如图乙所示：

为径迹圆的圆心，由几何关系有：

解得：

故，其中

解得：