Question

如图所示，两根足够长的粗糙平行金属导轨MN和PQ倾斜放置，其构成的平面与水平面成角，导轨间距，导轨电阻不计。两根完全相同的金属杆ab和cd分别垂直于导轨放置，且与导轨始终接触良好，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度。开始时两杆均恰好静止在轨道上而不下滑，从时刻对杆ab施加一个平行于导轨平面向上的力F，杆ab从静止开始沿轨道向上做匀加速直线运动，匀加速后金属杆cd刚要开始向上运动时，突然撤去外力F，此后杆cd仍然保持静止，杆ab做减速运动，直到速度减为零。已知从撤去外力F到杆ab速度减为零的过程中，杆ab沿斜面向上运动的距离，两杆的质量均为，接人电阻均为，两杆与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度。试求：

(1)在撤去外力F时，通过杆cd的电流大小和方向；

(2)在撤去外力F后金属杆ab速度减为零的过程中，杆ab上产生的内能；

(3)在0~4s内，外力F对杆ab的冲量大小。

Answer

(1)方向是由c沿杆指向d，2A；(2)1.1J；(3)6.8N·s。

【解析】

根据题意，先用右手定则判断电流的方向，然后受力分析，分析导体棒的运动情况。结合法拉第电磁感应电律求感应电动势，同时运用功能关系解决问题。

(1)在撤去外力F时，杆ab沿轨道向上运动，由右手定则可知，杆ab中电流方向由b沿杆指向a，所以杆cd中电流方向是由c沿杆指向d。

由题意知，开始两杆恰好不沿着轨道下滑，则有两杆沿斜面的滑动摩擦力等于最大静摩擦力即

当杆cd即将上滑时，设通过杆cd中电流大小为I，则

代入数据解得：

；

(2)设撤去外力F时，杆ab的速度为，产生的感应电动势为，由法拉第电磁感应定律可知：

又知：

解得：

从撤去外力F到杆ab速度减小为零的过程中，对杆ab由能量守恒定律可知：

所以，此过程中杆ab中产生的内能：

；

(3)设杆ab在力F作用下沿着轨道向上运动的匀加速的加速度为a，则

，

在某时刻的速度为v，则

杆ab所受安培力

对杆ab由牛顿第二定律得：

联立以上方程解得：

（）

由上式可知：力F随时间t成线性关系，当时，

当时，

所以，在0~4s内，力F对杆ab的冲量为：

。