Question

如图所示为xOy平面直角坐标系，在x=a处有一平行于y轴的直线MN，在x=4a处放置一平行于y轴的荧光屏，荧光屏与x轴交点为Q，在第一象限内直线MN与荧光屏之间存在沿y轴负方向的匀强电场。原点O处放置一带电粒子发射装置，它可以连续不断地发射同种初速度大小为v₀的带正电粒子，调节坐标原点处的带电粒子发射装置，使其在xOy平面内沿不同方向将带电粒子射入第一象限（速度与x轴正方向间的夹角为0≤θ≤）。若在第一象限内直线MN的左侧加一垂直xOy平面向外的匀强磁场，这些带电粒子穿过该磁场后都能垂直进入电场。已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，带电粒子的比荷，电场强度大小E=Bv₀，不计带电粒子重力，求：

(1)粒子从发射到到达荧光屏的最长时间。

(2)符合条件的磁场区域的最小面积。

(3)粒子打到荧光屏上距Q点的最远距离。

Answer

(1)；(2) ()a2；(3)a。

【解析】

(1)

由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，速度沿y轴正方向的粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子轨迹为圆，由圆周运动知

解得

则此时最长时间为

粒子进入电场到到达荧光屏，在x轴方向做匀速直线运动，运动时间为

故粒子从发射到到达荧光屏的最长时间

(2)带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，有

解得

由于带电粒子的入射方向不同，若磁场充满纸面，它们所对应的运动轨迹如图所示.为使这些带电粒子经磁场偏转后都能垂直直线MN进入电场，由图可知，它们必须从经O点做圆周运动的各圆的最高点飞离磁场.设磁场边界上P点的坐标为（x，y），则应满足方程

所以磁场边界的方程为

以的角度射入磁场区域的粒子的运动轨迹即为所求磁场另一侧的边界，因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆与圆的交集部分（图中阴影部分），由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为

(3)

带电粒子在电场中做类平抛运动，分析可知所有粒子在荧光屏左侧穿出电场，设粒子在电场中的运动时间为t，竖直方向的位移为y，水平方向的位移为l，则

联立解得

设粒子最终打在荧光屏的最远点距Q点为h，粒子射出电场时速度与x轴的夹角为α，则有

则当

时，即时，h有最大值。