Question

如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图．在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形，电子的电量为e（不计电子所受重力）．     

                                      

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子， 求电子离开ABCD区域的位置坐标．

（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置坐标．

（3）在满足（2）的情况下，粒子从释放点出发到达D点所需的最短时间是多少．

Answer

（1）（－2L，） （2）， xy＝，（3）=

【解析】

(1)此问分为两个过程，一是在电场Ⅰ区域的加速运动，运用能量的关系可求出加速后的速度；二是在电场Ⅱ区域内的偏转，运用类平抛的知识可求出偏转距离，从而得到电子离开ABCD区域的位置；

(2)首先设出释放点的坐标，在运用在电场I中的加速和在电场II中的类平抛运动，计算出表示xy的乘积的方程，满足此式的点即为符合要求的点．

(1) 设电子的质量为m，电量为e，在电场I中释放后将做出速度为零的匀加速直线运动，出区域I时的速度为v0，接着进入电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，对电子的整个运动过程运用动能定理和匀变速直线运动公式有：

以上两式联立解得： ，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为；

(2) 设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有：

以上两式联立解得：，即在电场I区域内满足方程的点即为所求位置；

(3)粒子在电场区域I中运动的时间为：

解得：

粒子出电场区域I时的速度

粒子在无电场区域做匀速直线运动的时间为：；

粒子在电场区域II的时间为：

也可写成：

即

联立；

由数学知识可知：．