Question

两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力），若电场强度E₀、磁感应强度B₀、粒子的比荷均已知，且，两板间距。

（1）求粒子在0～t₀时间内的位移大小与极板间距h的比值。

（2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h表示）。

（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。

Answer

（1）粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值

（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径

（3）粒子在板间运动的轨迹如图：

【解析】

（1）设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为s1

①

②

又已知

联立解得：

（2）解法一

粒子在t0~2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v1，轨道半径为R1，周期为T，则

联立解得：

又

即粒子在t0~2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。

在2t0~3t0时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移大小为s2

解得：

由于s1+s2＜h，所以粒子在3t0~4t0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为R2，有：

解得

由于s1+s2+R2＜h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。

在4t0~5t0时间内，粒子运动到正极板（如图所示）：

因此粒子运动的最大半径。

解法二

由题意可知，电磁场的周期为2t0，前半周期 粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为：

方向向上。

后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T

粒子恰好完成一次匀速圆周运动。

至第n个周期末，粒子位移大小为sn

又已知

由以上各式得：

粒子速度大小为：

粒子做圆周运动的半径为：

解得：

显然

因此粒子运动的最大半径。

（3）粒子在板间运动的轨迹如图所示：