Question

如图所示：正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长=1.8m，距地面h=0.8m．平行板电容器的极板CD间距d=0.1m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔．电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场．电荷量q=5×10^-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2.5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由XY边界离开台面．在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇．假定微粒在真空中运动、极板间电场视为匀强电场，滑块视为质点，滑块与地面间的动摩擦因数=0.2，取g=10m/s²

（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板地极性；

（2）求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；

（3）若微粒质量m_o=1×10^-13kg，求滑块开始运动时所获得的速度．

Answer

（1）1.25×10-11N，C板为正，D板为负．（2）8.1×10-14kg＜m≤2.89×10-13kg．（3）4.15m/s

【解析】

（1）微粒在极板间所受电场力大小为：F= …①
代入数据得：F=1.25×10-11 N…②

由微粒在磁场中的运动可判断微粒带正电荷，微粒由极板间电场加速，故C板为正极，D板为负极．
（2）若微粒的质量为m，刚进入磁场时的速度大小为v，
由动能定理Uq=mv2…③
微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，若圆周运动半径为R，
有qvB=m …④
微粒要从XY边界离开台面，则圆周运动的边缘轨迹如图所示，半径的极小值与极大值分别为
R1= …⑤
R2=l-d…⑥
联立③～⑥，代入数据，有8.1×10-14 kg＜m≤2.89×10-13 kg…⑦
（3）如图所示，微粒在台面以速度v做以O点为圆心、R为半径的圆周运动，从台面边缘P点沿与XY边界成θ角飞出做平抛运动，落地点为Q，水平位移为s，下落时间为t．设滑块质量为M，滑块获得速度v0后在t内沿与平台前侧面成φ角方向，以加速度a做匀减速直线运动到Q，经过位移为k．由几何关系，可是
cosθ=…⑧
根据平抛运动，
t=…⑨
s=vt…⑩
对于滑块，由牛顿定律及运动学方程，有：
μMg=Ma…（11）
k=v0t-at2…（12）
再由余弦定理，k2=s2+（d+Rsinθ）2-2s（d+Rsinθ）cosθ…（13）
及正弦定理， …（14）
联立③、④和⑧～（14），并代入数据解得：v0=4.15 m/s…（15）
此时 φ=arcsin0.8（或φ=53°）…（16）