Question

如图所示，粗糙水平面上静止放置一质量为2m的木板，在木板上右端静置一质量为m的小滑块。一可视为质点、质量为2m的小朋友荡秋千，从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，小朋友在极短时间内用脚水平蹬踏木板的左端，然后自己刚好能回到A点。已知秋千的摆绳长为L，质量不计，AO与竖直方向的夹角为60°。小滑块与木板之间、木板与水平面间的动摩擦因数都是，重力加速度为g。求：

(1)秋千摆到最低点B，小朋友未蹬踏木板时秋干摆绳的拉力大小；

(2)小朋友蹬踏木板过程中，小朋友做功大小；

(3)若小滑块不从木板上滑下，木板至少应为多长。

Answer

（1）4mg （2） （3）

【解析】

(1)从A点下摆到B点，只有重力做功，机械能守恒。由机械能守恒定律求出小朋友运动到最低点时的速度。在最低点，由合力充当向心力，由向心力公式求解秋千绳的拉力；(2)小朋友蹬踏木板过程中，沿水平方向动量守恒。由动量守恒定律列式。再由动能定理求小朋友做功大小；(3)由牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度，结合运动学公式可求得木板的长度.

(1)小朋友从A点下摆到B点，只有重力做功，机械能守恒.

设到达B点的速度大小为v0,则由机械能守恒定律有：

绳子拉力设为T，由受力分析和圆周运动知识有：

解得：T=4mg

(2)由题意知，小朋友蹬踏木板后速度大小不变，方向向左

由动量守恒定律得：2mv0=-2mv0+2mv1

得木板的速度：

小朋友做功大小：

(3)由牛顿第二定律得：小滑块的加速度：

木板的加速度：

当二者速度相等后，由于整体的加速度等于滑块的最大加速度，所以此后二者保持相对静止，设此过程经过的时间为t

由速度关系得：v1-a板t=a块t

此过程木板的位移：

滑块的位移：

小滑块不从木板上滑下，木板至少应为：x=x板-x块

解得：