Question

如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置．质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v₀从斜面的顶端P点沿斜面向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。物块A离开弹簧后，恰好回到P点．已知OP的距离为x₀，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ。求：

（1）O点和O′点间的距离x₁；

（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；

（3）设B的质量为βm，μ＝tanθ，v₀＝3．在P点处放置一个弹性挡板，将A与另一个与A材料相同的物块B（可视为质点与弹簧右端不拴接）并排一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后给A外加恒力，沿斜面向上，若A不会与B发生碰撞，求β需满足的条件？

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）从A到O′，由动能定理可得

①

物块A离开弹簧后回到P点的过程，由动能定理得

②

解得

（2）将带入②式可得，弹簧弹力做功为

即弹簧的弹性势能为

（3）两物体分离的瞬间有，两物体之间的弹力为0，由牛顿第二定律可得

解得，即弹簧恢复原长的瞬间，两物体分离。

设分离瞬间，两物体的速度为，由能量守恒可得

将，，带入解得

由于，，故分离后两物体的加速大小分别为

由此可知，分离后两物体均做减速运动，且B的加速度大于A，故在A物体上升阶段，两物体不会碰撞；B速度减为0后，由于，故B物体会保持静止状态，B物体上升的位移为

若A物体与挡板碰撞前速度就减为0，则此后A物体保持静止状态，两物体一定不会碰撞；若A物体能与挡板相碰，当物体A与挡板碰撞后，继续以加速度向下做减速运动， 直到速度减为0，保持静止；

A物体速度减为0的总路程为

若A物体不与挡板碰撞，则

解得

若A物体能与挡板碰撞，则两物体不相撞的条件为A物体速度减为0时不与B物体相撞，即

且

解得

由于，故

综上所述，的取值范围为