Question

下图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中和是间距为的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔和，，P为靶点，（为大于1的整数）。极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为。质量为、带电量为的正离子从点由静止开始加速，经进入磁场区域.当离子打到极板上区域（含点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求：

（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；

（2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；

（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。

Answer

（1）（2），（3），

【解析】

带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。

（1）离子经电场加速，由动能定理：

可得

磁场中做匀速圆周运动：

刚好打在P点，轨迹为半圆，由几何关系可知：

联立解得；

（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P点，而做圆周运动到达右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O点重新加速，直到打在P点。设共加速了n次，有：

且：

解得：，

要求离子第一次加速后不能打在板上，有

且：

解得：，

故加速次数n为正整数最大取

即：

；

（3）加速次数最多的离子速度最大，取，离子在磁场中做n-1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P点。

由匀速圆周运动：

电场中一共加速n次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式

可得：