Question

相距L的两平行金属导轨MN、PQ固定在水平面上，两导轨左端连接阻值为R的电阻。导轨所在处的空间分布一系列磁场区域，如图甲所示，每个磁场区的宽度和相邻磁场区的间距均为d，每个磁场区内的磁场均为匀强磁场，磁场方向垂直轨道平面。磁感应强度从左到右依次记为B₁、B₂、B₃、…、B_n，B₁随时间变化的图像如图乙所示，规定磁场方向竖直向下为正方向，其他磁场保持不变。一质量为m、电阻也为R的导体棒垂直放置在导轨左端，在垂直于导体棒的水平恒力F作用下，从静止开始向右运动，经过时间t₀离开B₁磁场，离开时速度为v，此时撤去F，导体棒继续向右运动。已知在无磁场区导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，有磁场区域导轨光滑，导体棒在磁场区内的运动为匀速运动（B₁磁场区除外），最终穿过磁场区后停下来。求：

(1)导体棒在B₁磁场区运动过程中回路产生的焦耳热Q₁；

(2)磁场区B₂的磁感应强度大小B₂、磁场区B_n的磁感应强度大小B_n（n为已知量）；

(3)导体棒离开磁场区B₁后的整个运动过程中电阻R产生的焦耳热Q；

Answer

(1)；(2)， ；(3)

【解析】

(1)导体棒在B1的磁场中受恒力F，安培阻力向右运动，时间为t0，此过程磁感应强度恒定，由动能定理

由功能关系，安培力做负功把机械能转化为电路中的焦耳热，有

解得

(2)离开第一个磁场的棒在进入第二个磁场前，只受摩擦力作用做匀减速直线运动，设末速度为，则

则，导体棒在磁场区B2中速度大小

因导体棒进入第二个磁场是匀速运动，而导轨光滑，则不受安培力，即不产生感应电流，故回路的磁通量不变，设经过时间，有

解得

同理可得，在第3个磁场中，导体棒仍做匀速运动，则回路中磁通量不变，即有

则

则设进入第n个磁场时的速度为，同理可得，导体在第n个磁场区中速度大小和第n的磁场区的磁感应强度Bn为

(3)因在每个磁场中匀速运动，没有感应电流，电路不产生焦耳热，而在磁场外的粗糙轨道上运动时，因第一个磁场的磁感应强度均匀减小而产生感应电动势，有感应电流，电阻产生焦耳热，导体棒在粗糙轨道上时，回路中电动势为

则电流为

在每个粗糙轨道上的每个匀减速直线可以等效为连续的匀减速直线运动，则总时间为

则有