Question

如图，光滑水平桌面上有一个矩形区域abcd，bc长度为2L，cd长度为1.5L，e、f分别为ad、bc的中点。efcd区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B；质量为m、电荷量为+q的绝缘小球A静止在磁场中f点。abfe区域存在沿bf方向的匀强电场，电场强度为；质量为km的不带电绝缘小球P，以大小为的初速度沿bf方向运动。P与A发生弹性正碰，A的电量保持不变，P、A均可视为质点。

（1）求碰撞后A球的速度大小；

（2）若A从ed边离开磁场，求k的最大值；

（3）若A从ed边中点离开磁场，求k的可能值和A在磁场中运动的最长时间。

Answer

（1）（2）1（3）或；

【解析】

（1）设P、A碰后的速度分别为vP和vA，P碰前的速度为

由动量守恒定律：

由机械能守恒定律：

解得：

（2）设A在磁场中运动轨迹半径为R， 由牛顿第二定律得：

解得：

由公式可得R越大，k值越大

如图1，当A的轨迹与cd相切时，R为最大值，

求得k的最大值为

（3）令z点为ed边的中点，分类讨论如下：

（I）A球在磁场中偏转一次从z点就离开磁场，如图2有

解得：

由可得：

（II）由图可知A球能从z点离开磁场要满足，则A球在磁场中还可能经历一次半圆运动后回到电场，再被电场加速后又进入磁场，最终从z点离开。

如图3和如图4，由几何关系有：

解得：或

由可得：或

球A在电场中克服电场力做功的最大值为

当时，，由于

当时，，由于

综合（I）、（II）可得A球能从z点离开的k的可能值为：或

A球在磁场中运动周期为

当时，如图4，A球在磁场中运动的最长时间

即