Question

如图BC是位于竖直平面内的一段光滑的圆弧轨道，圆弧轨道的半径为r＝3m，圆心角θ＝53°，圆心O的正下方C与光滑的水平面相连接，圆弧轨道的末端C处安装了一个压力传感器．水平面上静止放置一个质量M＝1kg的木板，木板的长度l＝2m，木板的上表面的最右端放置一个静止的小滑块P₁，小滑块P₁的质量m₁未知，小滑块P₁与木板之间的动摩擦因数μ＝0.2．另有一个质量m₂＝1kg的小滑块P₂，从圆弧轨道左上方的某个位置A处以某一水平的初速度抛出，恰好能够沿切线无碰撞地从B点进入圆弧轨道，滑到C处时压力传感器的示数为N，之后滑到水平面上并与木板发生弹性碰撞且碰撞时间极短．（不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s²，cos53°＝0.6）．求：

（1）求小滑块P₂经过C处时的速度大小；

（2）求位置A与C点之间的水平距离和竖直距离分别是多少？

（3）假设小滑块P₁与木板间摩擦产生的热量为Q，请定量地讨论热量Q与小滑块P₁的质量m₁之间的关系．

Answer

（1）7m/s（2）3.6m，2m（3）Q= 或 Q=4m1

【解析】

(1)根据牛顿第三定律可知小块P2滑到C处受到的支持力F=N，由牛顿第二定律得：

代入数据解得：

(2)设P2在B处的速度为vB，从B到C的过程中，由动能定理得：

其中：

代入数据解得：

因为小滑块恰好能够沿切线无碰撞的从B点进入圆弧轨道，可知平抛的初速度为：

在B点时竖直方向的速度为：

则从A到B的时间为：

所以AC之间的水平距离为：

AC之间的竖直距离为：

(3)P2与木板发生弹性碰撞，假设碰后小滑块P2的速度为v2、木板速度为v1，由动量守恒定律和机械能守恒可知：

代入数据联立解得：，

木板获得速度之后，和上面的小滑块P1之间相对滑动，假设最终和木板之间相对静止，两者的共同速度为v共，小滑块P1在模板上相对滑动了x，由动量守恒和能抗守恒可知：

联立解得：

.

当时，.

若，则，滑块不会从模板上掉落，小滑块P1与木板间产生的热量为：

若，则，滑块会从木板上掉落，小滑块P1与木板间的摩擦产生的热量为：

答：(1)小滑块P2经过C处时的速度大小；

(2)位置A与C点之间的水平距离和竖直距离分别是3.6m和2m；

(3)热量Q与小滑块P1的质量m1之间的关系为Q= 或 Q=4m1．