Question

如图所示，在平面直角坐标系，xOy的平面内，有一个半径为R，圆心坐标（0，－3R）的圆形区域，该区域内存在着磁感应强度为、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；有一对平行电极板垂直于x轴且关于y轴对称放置，极板AB、CD的长度和两板间距均为2R，极板的两个端点B和D位于x轴上，AB板带正电，CD板带负电。在的区域内有垂直于坐标平面向里的磁感应强度为（未知）的匀强磁场。现有一坐标在（R，－3R）的电子源能在坐标平面内向圆形区域磁场内连续不断发射速率均为、方向与y轴正方形夹角为θ（θ可在0内变化）的电子。已知电子的电荷量大小为e，质量为m，不计电子重力及电子间的相互作用，两极板之间的电场看成匀强电场且忽略极板的边缘效应。电子若打在AB极板上则即刻被导走且不改变原电场分布；若不考虑电子经过第一、二象限的磁场后的后续运动。求：

(1)电子进入圆形磁场区域时的偏转半径；

(2)若从发射的电子能够经过原点O，则两极板间电压为多大？

(3)若，将两极板间的电压调整为第（1）问中电压的两倍（两极板极性不变），电子的发射方向不变，求电子从边界处的哪一位置离开磁场？

(4)若，两极板间的电压大小可以从0开始调节（两极板极性不变），则θ在哪个范围内发射进入的电子最终能够击中（3R，0）点？并求出这些电子在区域内运动的最长时间。（结果可用反三角函数表示，例如，则α可表示为arctan2）

Answer

(1)R(2)(3)(4)

【解析】

(1)电子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有

解得

(2)根据几何关系可得：电子离开圆形磁场时的速度方向竖直向上，那么，电子运动到O点的轨迹如图所示

电子在极板间运动只受电场力作用，故电子做类平抛运动，加速度

竖直位移为2R，水平位移为

故有

所以，两极板间电压

(3)将两极板间的电压调整为第（1）问中电压的两倍，电子做类平抛运动的加速度变为原来的2倍，电子在两板间运动时间不为，由公式可知，水平位移变为原来的两倍，由平抛运动规律，速度反向延长线过竖直位移的中点可知，粒子进入磁场B2的方向与x轴负方向成角，即在坐标原点左侧处射入磁场，磁场变为原来的，半径变为原来的3倍，由数学知识可得，弦长

所以出射点在坐标原点右侧离坐标原点的距离为

(4)设电子进入y≥0区域时的速度为v，到F的距离为2d，粒子做匀速圆周运动的轨道半径为r；则竖直分量为v0；由几何关系可得

根据洛伦兹力做向心力可得

所以

故

故从

处离开电场的电子可以击中收集板的右端点F；又有两极板间的电压大小可以从0开始调节，电子进入电场时的速度竖直向上，在电场中运动向左偏转；所以，离开圆形磁场区域时的x轴坐标在范围内的电阻可以击中收集板的右端点F，根据电子在圆形磁场区域的轨道半径为R，由几何关系可得