Question

嫦娥一号在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，嫦娥一号经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）月球的平均密度是多少？

（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

Answer

（1）月球的平均密度是．

（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为．

（3）则经（m=1，2，3…），他们又会相距最近

【解析】

（1）在圆轨道Ⅲ上的周期：

T3=…①

由万有引力提供向心力有：

…②

又：M=…③

联立得：=…④

（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有：…⑤

又：…⑥

联立①②⑤⑥得：r=4R

设飞船在轨道II上的运动周期T2，而轨道II的半长轴为：=2.5R…⑦

根据开普勒定律得：

…⑧

可解得：T2=0.494T3

所以飞船从A到B的飞行时间为：

（3）设飞船在轨道I上的角速度为ω1、在轨道III上的角速度为ω3，有：

所以

设飞飞船再经过t时间相距最近，有：

ω3t′﹣ω1t′=2mπ

所以有：t=（m=1，2，3…）