直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在第一象限存在磁感应强度 B=0.1 T、...

直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在第一象限存在磁感应强度 B=0.1 T、方向垂直于纸面向里、边界为矩形的匀强磁场。现有一束比荷为 108 C / kg 带正电的离子，从磁场中的A点（m，0）沿与x轴正方向成  =60°角射入磁场，速度大小 v0≤1.0 ×10 6m / s，所有离子经磁场偏转后均垂直穿过y轴的正半轴，不计离子的重力和离子间的相互作用。

(1)求速度最大的离子在磁场中运动的轨道半径；

(2)求矩形有界磁场区域的最小面积；

(3)若在x>0区域都存在向里的磁场，离子仍从 A 点以 v0 = 10 6 m /s向各个方向均匀发射，求y轴上有离子穿出的区域长度和能打到y轴的离子占所有离子数的百分比。

(1) 0.1m；(2) m2；(3)；50%。【解析】 (1)根据洛伦兹力提供向心力有代入数据解得 R=0.1m； (2)如图1所示：根据几何关系可知，速度最大的离子在磁场中运动的圆心在y轴上的B（0，m）点，离子从C点垂直穿过y轴，所有离子均垂直穿过y轴，即速度偏向角相等，AC连线应该是磁场的边界，满足题意的矩形如图1所示，根据几何关系可得矩形长为宽为 R-Rcosθ＝m 则面积为 (3)根据洛伦兹力提供向心力有解得临界1，根据图2可得与x轴成30°角射入的离子打在y轴上的B点，AB为直径，所以B点位y轴上有离子经过的最高点，根据几何知识可得 OB=m；临界2：根据图2可得，沿着x轴负方向射入磁场中的离子与y轴相切与C点，所以C点为y轴有离子打到的最低点，根据几何知识有 OC=m 所以y轴上B点至C点之间的区域有离子穿过，且长度为根据图3可得，沿着x轴正方向逆时针转到x轴负方向的离子均可打在y轴上，故打在y轴上的离子占所有离子数的50%。

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考点分析：

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平行直导轨由水平部分和倾斜部分组成，导轨间距 L＝0.5 m，PQ 是分界线，倾斜部分倾角为 θ＝30°，PQ 右侧有垂直于斜面向下的匀强磁场 B2＝1 T，PQ 左侧存在着垂直于水平面但方向未知、大小也为 1 T 的匀强磁场 B1，如图所示。质量 m＝0.1 kg、接入电路的电阻 r＝0.1 Ω 的两根金属细杆 ab 和 cd 垂直放于该导轨上，其中 ab 杆光滑，cd 杆与导轨间的动摩擦因数为 μ＝导轨底端接有 R＝0.1 Ω 的电阻。开始时ab、cd 均静止于导轨上。现对ab 杆施加一水平向左的恒定外力 F，使其向左运动，当 ab 杆向左运动的位移为 x 时开始做匀速直线运动，此时 cd 刚要开始沿斜面向上运动（仍保持静止），再经 t＝0.4 s 撤去外力 F，最后 ab 杆静止在水平导轨上。整个过程中电阻 R 的发热量为 Q＝1.0 J。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（g＝10 m/s2，不计空气阻力）

(1)判断 B1 磁场的方向；

(2)刚撤去外力 F 时 ab 杆的速度 v 的大小；

(3)求 ab 杆的最大加速度 a 的大小和加速过程中的位移 x 的大小。

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如图所示，竖直面内用光滑钢管弯成的“9”字形固定轨道与水平桌面的右端相接， “9”字全高 H＝0.8 m，“9”字上半部分四分之三圆弧半径为 R＝0.2 m，钢管的内径大小忽略不计。桌面左端固定轻质弹簧，开始弹簧处于锁定状态，其右端处于 A 位置，此时弹簧具有的弹性势能为 Ep＝2.16 J，将质量 m＝0.1 kg 的可看作质点的小球放在 A 位置与弹簧相接触，解除弹簧锁定后，小球从 A 被弹出后经过 B 点进入“9”字形轨道最后从 D 点水平抛出，AB 间水平距离为 L＝1.2 m，小球与桌面间的动摩擦因数为 μ＝0.3，重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻力，假设水平地面足够长，试求：