Question

直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在第一象限存 在磁感应强度 B=0.1 T、方向垂直于纸面向里、边界为矩形的匀强磁场。现有一束比荷为 10⁸ C / kg  带正电的离子，从磁场中的A点（m，0）沿与x轴正方向成  =60°角射入磁场，速度大小 v₀≤1.0 ×10 ⁶m / s，所有离子经磁场偏转后均垂直穿过y轴的正半轴，不计离子的重力和离子间的相互作用。

(1)求速度最大的离子在磁场中运动的轨道半径；

(2)求矩形有界磁场区域的最小面积；

(3)若在x>0区域都存在向里的磁场，离子仍从 A 点以  v₀ = 10 ⁶ m /s向各个方向均匀发射，求y轴上有离子穿出的区域长度和能打到y轴的离子占所有离子数的百分比。

Answer

(1) 0.1m；(2) m2；(3)；50%。

【解析】

(1)根据洛伦兹力提供向心力有

代入数据解得

R=0.1m；

(2)如图1所示：

根据几何关系可知，速度最大的离子在磁场中运动的圆心在y轴上的B（0，m）点，离子从C点垂直穿过y轴，所有离子均垂直穿过y轴，即速度偏向角相等，AC连线应该是磁场的边界，满足题意的矩形如图1所示，根据几何关系可得矩形长为

宽为

R-Rcosθ＝m

则面积为

(3)根据洛伦兹力提供向心力有

解得

临界1，根据图2可得

与x轴成30°角射入的离子打在y轴上的B点，AB为直径，所以B点位y轴上有离子经过的最高点，根据几何知识可得

OB=m；

临界2：根据图2可得，沿着x轴负方向射入磁场中的离子与y轴相切与C点，所以C点为y轴有离子打到的最低点，根据几何知识有

OC=m

所以y轴上B点至C点之间的区域有离子穿过，且长度为

根据图3可得，

沿着x轴正方向逆时针转到x轴负方向的离子均可打在y轴上，故打在y轴上的离子占所有离子数的50%。