Question

在物理学中，常常用等效替代、类比、微小量放大等方法来研究问题．如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图．卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其它已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个称量地球的人．

（1）若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m₁、m₂相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；

（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式．

Answer

（1）万有引力常量为．

（2）地球质量为，地球平均密度的表达式为

【解析】

根据万有引力定律，化简可得万有引力常量G；

在地球表面附近的物体受到重力等于万有引力，可以解得地球的质量M，地球的体积为，根据密度的定义，代入数据可以计算出地球平均密度．

（1）根据万有引力定律有：

解得：

（2）设地球质量为M，在地球表面任一物体质量为m，在地球表面附近满足：

得地球的质量为：

地球的体积为：

解得地球的密度为：

答：（1）万有引力常量为．

（2）地球质量，地球平均密度的表达式为．