Question

如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH（点G与点D在同一高度但不相交，FH与圆相切）通过光滑圆轨道EF平滑连接，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内。现将一质量的小球甲从AB段距地面高处静止释放，与静止在水平轨道上、质量为1kg的小球乙发生完全弹性碰撞。碰后小球乙滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点。已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（，，）求两球碰撞后：

（1）小球乙第一次通过E点时对轨道的压力大小；

（2）小球乙沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；

（3）若将小球乙拿走，只将小球甲从AB段离地面h处自由释放后，小球甲又能沿原路径返回，试求h的取值范围。

Answer

（1）30N ；（2）1.62m ；（3）h≤0.8m或h≥2.32m

【解析】

（1）小球甲从A点到B点由机械能守恒定律可得：

两小球碰撞时由动量守恒定律可得：

由机械能守恒定律可得：

小球乙从BC轨道滑至E 点过程，由机械能守恒定律得：

小球乙在E点，根据牛顿第二定律及向心力公式，

根据牛顿第三定律小球乙对轨道的压力N＇=N，由以上各式并代入数据得：，=30N

（2）D、G离地面的高度

设小球乙上滑的最大高度为，则小球乙在GH段滑行的距离

小球乙从水平轨道位置滑至最高点的过程，根据动能定理：

其中，，

由以上各式并代入数据得

（3）只有小球甲时，小球甲要沿原路径返回，若未能完成圆周运动，则

若能完成圆周运动，则小球甲返回时必须能经过圆轨道的最高点E。设小球沿GH上升的竖直高度为，上升过程克服摩擦力做功为，则：

小球甲从释放位置滑至最高点的过程，根据动能定理：

设小球甲返回至G点时的速度为，根据动能定理：

从G点返回至E点的过程，根据机械能守恒：

在E点，

由以上各式得h=2.32m

故小球甲沿原路径返回的条件为或