Question

真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B₀=1T，t₀=π×l0^-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v₀=10³m/s的正点电荷，比荷=1×l0⁶C/kg，不计粒子重力。

(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；

(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；

(3)若t₀=10^-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值T_min和相应的k值。

Answer

(1)0.01m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为

【解析】

(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由

解得

当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间

(2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得：

与轴交点坐标的最大值为

与轴交点坐标的最小值为

(3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论：

如图可见1、2、3、4时可能的分段情况．

①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动

②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期

③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期

④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期

当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长．

综上可得：

(1)当取非的正整数时，均可以回到出发点．

(2)当时，最小循环周期为

．