Question

细管AB内壁光滑、厚度不计，加工成如图所示形状，长L＝0.8 m的BD段固定在竖直平面内，其B端与半径R＝0.4 m的光滑圆弧轨道BP平滑连接，CD段是半径R＝0.4 m的圆弧，AC段在水平面上，管中有两个可视为质点的小球a、b，m_a＝6 m，m_b＝2 m。开始b球静止，a球以速度v₀向右运动，与b球发生弹性碰撞之后，b球能够通过轨道最高点P，a球则滑回AC段从细管的A点滑出。求：（重力加速度取10 m/s²，）

(1)若v₀＝4 m/s，碰后a、b球的速度大小；

(2)若v₀未知，碰后a球的最大速度；

(3)若v₀未知，v₀的取值范围。

Answer

（1）若v0=4m/s，碰后a球的速度为2m/s，b球的速度为6m/s；（2）若v0未知，碰后a球的最大速度4.9m/s；（3）若v0未知，v0的取值范围为4m/sv≤9.8m/s

【解析】

（1）根据题目中a球以速度v0向右运动，与b球发生弹性碰撞之后，b球能够通过轨道最高点P，a球则滑回AC段从细管的A点滑出可知，a、b碰撞过程中动量和机械能都守恒，分别用动量守恒和机械能守恒列式求解即可。

（2）要想让a球能滑出A，则a球与b球碰撞后，a球不能超过B点，否则a球会进入半圆形轨道，就不会滑回AC段从细管的A点滑出，a球碰撞后直至B的过程中，根据机械能守恒，应用机械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度。

（3）要使b球能顺利经过最高点，则在最高点时的速度v，由此可应用机械能守恒求出b球碰撞后的最小速度，从而求出a球碰撞前的最小速度；碰后a上升的高度不能超过（L+R），否则a球就不会返回经过A，结合第二问可求出a球的最大速度。

（1）a、b碰撞过程中，以a、b组成的系统为研究对象，经受力分析知系统动量守恒，选向右的方向为正，设a、b碰后瞬间速度为va1、vb1，由动量守恒得：

mav0=mava1+mbvb1

因a、b的碰撞是弹性碰撞，所以碰撞过程中机械能守恒有：

ma=ma+mb

联立解得：碰后a的速度va1=v0=2m/s，碰后b的速度vb1=v0=6m/s

（2）因a球能滑出A，故a与b碰后，a上升的高度不能超过B点，即上升的高度不会超过L+R．设碰撞后a的最大速度为va1max，a球上升的过程中机械能守恒有：

mava1max2=mag(L+R)

解得碰后a球的最大速度：va1max==m/s=4.9m/s

（3）欲使b能通过最高点，设b球与a碰撞后的速度为vb1，经过最高点时的速度为vb2，则有：

在最高点P，对b有：mbgmb

解得：vb2=2m/s

b球在上升至最高点P的过程中，只有重力做功，机械能守恒有：

mbvb12=mbvb22+mbg(L+2R)

解得：vb16m/s

由（1）中知：vb1=v0

v0的最小值：v0minvb1=4m/s

由（2）知碰后a球的最大速度：va1max=4.9m/s

由（1）知：va1=v0

v0的最大值：v0max=vb1max=9.8m/s

综上可得v0的取值范围：4m/sv09.8m/s

答案为：（1）若v0=4m/s，碰后a球的速度为2m/s，b球的速度为6m/s

（2）若v0未知，碰后a球的最大速度4.9m/s

（3）若v0未知，v0的取值范围为4m/sv≤9.8m/s