Question

如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L₁、L₂、L₃是磁场的边界（BC与L₁重合），宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感强度大小为B₁．一电荷量为q、质量为m（重力不计）的带正电点电荷从AD边中点以初速度v₀沿水平向右方向进入电场，点电荷恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ．已知AB长度是BC长度的倍．

（1）求带电粒子到达B点时的速度大小；

（2）求磁场的宽度L；

（3）要使点电荷在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B₂的最小值．

Answer

1.

2.

3.B2≥1.5B1

【解析】

粒子在匀强电场中做类平抛运动，将运动沿水平方向与竖直方向分解，根据动为学规律即可求解；当粒子进入磁场时，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可确定运动的半径．最后由几何关系可得出磁场的宽度L；根据几何关系确定离开磁场的半径范围，再由半径公式可确定磁感应强度．

1.设点电荷进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tanθ＝

则θ＝30°

根据速度关系有：v＝

2.设点电荷在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得： ，轨迹如图：

由几何关系得：L＝r1

解得：L＝

3.当点电荷不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，点电荷在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图：

同理得：

根据几何关系有：L＝r2(1＋sinθ)

解得：B＝1.5B1