Question

如图所示，餐桌中心是一个半径为r=1.5m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为，与餐桌的动摩擦因数为，餐桌离地高度为。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。

(1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度的最大值为多少？

(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？

(3)若餐桌半径，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？

Answer

(1) (2) (3)

【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大：

两式联立可得：

(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物块在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则：

所以：

物体在餐桌上滑动的初速度为：

由运动学公式可得：

由图形可得餐桌半径的最小值为：

(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度，由题意可得：

由于餐桌半径为，所以

所以可得：

物体做平抛运动的时间为t，则：

解得：

所以物体做平抛运动的水平位移为

所以由题意可得：