Question

如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为M=2kg。车上在沙箱左侧距离s=1m的位置上放有一质量为m=1kg小物块A，物块A与小车的动摩擦因数为。仅在沙面上空间存在水平向右的匀强电场，场强E=2.0×10³V/m。当物块A随小车以速度向右做匀速直线运动时，距沙面H=5m高处有一质量为的带正电的小球C，以的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中。已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取g=10m/s²。求：

(1)小球落入沙箱前的速度和开始下落时与小车右端的水平距离；

(2)小车在前进过程中，弹簧具有的最大值弹性势能；

(3)设小车左端与沙箱左侧的距离为L。请讨论分析物块A相对小车向左运动的整个过程中，其与小车摩擦产生的热量Q与L的关系式。

。

Answer

(1)10m/s，方向竖直向下，15m (2)9J (3)①若时， ②若时，。

【解析】

(1)小球C在电场中运动过程，受到重力和电场力作用，两个力均为恒力，可采用运动的分解法研究：竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀减速运动，根据牛顿第二定律和位移公式结合求解；

(2)小球落入沙箱的过程，系统水平动量守恒，由动量守恒定律求出小球落入沙箱后的共同速度。之后，由于车速减小，物块相对车向右运动，并压缩弹簧，当A与小车速度相同时弹簧的弹性势能最大。

(3)根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解；由功能关系求热量Q与L的关系式。要分物块是否从小车上滑下两种情况研究。

(1)小球C下落到沙箱的时间为，则竖直方向上：

代入数据解得：

t=1s

小球在水平方向左匀减速运动：

根据速度公式有：

代入数据解得：

，

所以小球落入沙箱瞬间的速度：

，方向竖直向下

小球开始下落时与小车右端的水平距离：

(2)设向右为正，在小球落快速落入沙箱过程中，小车（不含物块A）和小球的系统在水平方向动量守恒，设小球球入沙箱瞬间，车与球的共同速度为，则有：

可得：

由于小车速度减小，随后物块A相对小车向右运动并将弹簧压缩，在此过程中，A与小车（含小球）系统动量守恒，当弹簧压缩至最短时，整个系统有一共同速度，则有：

解得：

根据能的转化和守恒定律，弹簧的最大势能为：

代入数据解得：

（3）随后弹簧向左弹开物块A，假设A运动至车的左端时恰好与车相对静止。此过程中系统动量仍然守恒，所以系统具有的速度仍为：

根据功能关系有：

解得小车左端与沙箱左侧的距离为：

分情况讨论如下：

①若时，物块A停在距离沙箱左侧处与小车一起运动，因此摩擦产生的热量为：

②若时，物块A最终会从小车的左端滑下，因此摩擦产生热量为：