Question

如图所示，PQ和MN是固定于倾角为30^o斜面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计．金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好．金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m，长度均为L、电阻均为R；两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，并与轨道形成闭合回路．整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，若锁定金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下，沿轨道向上做匀速运动．重力加速度为g；

（1）试推导论证：金属棒cd克服安培力做功的功率P_安 等于电路获得的电功率P_电；

（2）设金属棒cd做匀速运动中的某时刻t₀=0，恒力大小变为F′=1.5mg，方向不变，同时解锁、静止释放金属棒ab，直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动；求：

①t时刻以后金属棒ab的热功率P_ab；

②0～t时刻内通过金属棒ab的电量q；

Answer

（1）见解析（2）①②

【解析】

（1）金属棒cd做匀速运动的速度为v，

①，②，③

金属棒cd克服安培力做功的功率：

④

电路获得的电功率：

⑤，

由①②③④可得：

P安=⑥，

由①③⑤可得

⑦，

所以：

P安=P电⑧

（另【解析】
金属棒cd做匀速运动的速度为v，cd杆受力平衡有

，，，

联立解得

，，

根据：

，

所以：

）

（2）①金属棒ab做匀速运动，则有：

⑨，

棒ab的热功率

⑩，

由⑨⑩解得：

⑪，，

②设t后时刻金属棒ab做匀速运动速度为v1，金属棒cd也做匀速运动的速度为v2；

由金属棒ab、金属棒cd组成系统动量守恒：

⑫，

回路电流

I1=⑬

由⑨⑫⑬解得：金属棒ab做匀速运动速度为

v1=⑭

0～t时刻内对金属棒ab在电流为i的很短时间内，速度的该变量为由动量定理得：

⑮

对⑮进行求和得：

⑯

解得：

BLq-mgt=2mv1⑰

由⑭⑮解得：

q=

（或：设ab、cd杆之间距离变化量为x，则：

，

设任意时刻，ab杆速度为，cd杆速度为，利用微元求和可得：

对ab杆进行动量定理：

，

，

联立可得：

，

求解得：

，