Question

如图，足够长的平行金属导轨弯折成图示的形状，分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域．Ⅰ区域导轨与水平面的夹角α=37°，存在与导轨平面垂直的匀强磁场；Ⅱ区域导轨水平，长度x=0.8m，无磁场；Ⅲ区域导轨与水平面夹角β=53°，存在与导轨平面平行的匀强磁场．金属细杆a在区域I内沿导轨以速度v₀匀速向下滑动，当a杆滑至距水平导轨高度为h₁=0.6m时，金属细杆b在区域Ⅲ从距水平导轨高度为h₂=1.6m处由静止释放，进入水平导轨与金属杆a发生碰撞，碰撞后两根金属细杆粘合在一起继续运动．已知a、b杆的质量均为m=0.1kg，电阻均为R=0.1Ω，与导轨各部分的滑动摩擦因数均为μ=0.5，导轨间距l=0.2m，Ⅰ、Ⅲ区域磁场的磁感应强度均为B=1T．不考虑导轨的电阻，倾斜导轨与水平导轨平滑连接，整个过程中杆与导轨接触良好且垂直于金属导轨，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求

（1）金属细杆a的初始速度v₀的大小；

（2）金属细杆a、b碰撞后两杆共同速度的大小；

（3）a、b杆最终的位置．

Answer

（1） （2） （3）

【解析】

（1）金属杆a沿导轨匀速下滑，对金属杆a受力分析如图所示：

根据法拉第电磁感应定律得：

根据闭合电路的欧姆定律得：

安培力

根据平衡条件得：，

且

联立解得：

（2）金属杆a沿导轨匀速下滑的位移为：

金属杆a匀速下滑到底端的时间为：

金属杆b沿导轨做初速度为0的匀加速运动，对金属杆b受力分析如图所示：

根据平衡条件得：

根据牛顿第二定律得：

且安培力，

联立解得：

金属杆b沿导轨下滑的位移为：

设金属杆b沿导轨匀加速下滑到底端的时间为，速度为

则有：，

代入数据解得：

因，故a、b同进进入II区域，做匀减速直线运动，加速度大小为

设经过时间t杆a速度刚好为，此时杆a的位移为，杆b的速度大小为，位移为

根据运动学公式得：，解得：t=0.2s

，，

则

通过以上杆a速度时，金属杆a、b相遇发生碰撞，碰撞过程中a、b杆系统动量守恒，设碰撞结束瞬间的速度大小为，则有：，解得：

（3）碰撞后a、b杆合为一体，向左减速，冲上I区域，设到最高点的高度为

由动能定理得：

随后a、b杆沿I区域的导轨匀加速下滑，到达底端再沿II区域向右匀减速滑至停止，设停止时距I区域底端的距离为

由动能定理得：

联立解得：

因，则a、b杆最终停在距I区域底端0.025m处