Question

如图是中国家家户户都有的团圆桌．餐桌上放一半径为r＝1.5m可绕中心轴转动的圆盘，近似认为餐桌与圆盘在同一水平面内，忽略两者之间的间隙，如图．餐桌离地高度为h＝0.8m，将某小物体放置在圆盘边缘，该物体与圆盘的动摩擦因数为μ₁＝0.6，与餐桌的动摩擦因数为μ₂＝0.225，设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．

(1)缓慢增大圆盘的速度，物体从圆盘上甩出的速度;

(2)上一问中，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值;

(3)假设餐桌半径，物体从圆桌上被甩出后，落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离为多少？

Answer

(1)3m/s；(2)2.5m；(3)2.1m

【解析】

(1)最大静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律求得最大角速度；

(2)从圆环脱离后在餐桌面上做匀减速运动，根据运动学公式求得通过的位移，利用几何关系求得餐桌的最小半径；

(3)脱离圆环后在餐桌上做减速运动，根据运动学公式求得脱离餐桌时的速度，然后开始做平抛运动，根据运动学公式和几何关系即可判断．

(1) 由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大．当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，为：

fm=μ1N=mrω2…（1）

N=mg…（2）

两式联立可得：ω=

所以速度为：；

(2) 由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值．设物体在餐桌上滑动的位移为S，物块在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则有：

f=μ2mg

所以：a=μ2g=2.25m/s2

物体在餐桌上滑动的初速度为：v0=ωr=3m/s

由运动学公式vt2-v02=-2aS可得：S=2m

由图形可得餐桌半径的最小值为：R=；

(3) 当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度vt′，由题意可得：vt′2-v02=-2aS'

由于餐桌半径为，所以S'=r=1.5m

所以可得：vt′=1.5m/s

物体做平抛运动的时间为t，则： 解得：

所以物体做平抛运动的水平位移为：Sx=vt′t=0.6m

所以由题意可得：L=S'+Ss=2.1m．