Question

（11·孝感）（满分14分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（），其中.

（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；（5分）

（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；（4分）

（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求、、的值.（5分）

Answer

（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°

由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE

∴FC＝4……………………………………2分

设EF＝x，则EC＝8－x

在Rt△ECF中，42＋(8－x)2＝x2  解得x＝5

∴CE＝8－x＝5

∵B (m，0)   ∴E (m＋10，3)，F (m＋6，0)……………………………………5分

（2）分三种情形讨论：

若AO＝AF，∵AB⊥OF  ∴OB＝BF＝6，∴m＝6…………………………………7分

若OF＝AF，则m＋6＝10  解得m＝4

若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2＋AB2＝m2＋64  

说明：求对一个m值得2分，求对二个m值得3分，求对三个m值得4分

（3）由（1）知A (m，8)， E (m＋10，3)，

∴M (m＋6，－1)

设对称轴交AD于G

∴G (m＋6，8)  ∴AG＝6，GM＝8―(―1)＝9

∵∠OAB＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠MAG＝90°，

∴∠OAB＝∠MAG

又∠ABO＝∠MGA＝90°，

∴△AOB∽△AMG

∴m＝12…………………………………14分

【解析】略