Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer

【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90º-----1分

∵∠ABC＝60º∴∠BAC＝ 30º----2分

∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直径为4cm．---3分

（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连结OC，

则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm----4分．

∴CD⊥CO∴∠OCD＝90º∵∠BAC＝ 30º∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º

∴∠D＝30º∴OD＝2OC＝4cm∴BD＝OD－OB＝4－2＝2—5分

∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．----6分

（3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，

此时△BEF∽△BAC---7分∴BE：BA＝BF：BC 

即：（4－2t）：4＝t：2 ---8分  解得：t＝1---9分

如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA

∴BE：BC＝BF：BA----10分

即：（4－2t）：2＝t：4

解得：t＝1.6---11分

∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．---12分

【解析】略