Question

如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.

1.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；

【小题,2】（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

Answer

1.（1）四边形ABCE是菱形.

证明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，

∴ EC∥AB，EC＝AB.

∴ 四边形ABCE是平行四边形.

又∵ AB＝BC，

∴四边形ABCE是菱形

2.（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：

由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，

∴ S△PBO＝ S△QEO

∵ △ECD是由△ABC平移得到的，

∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.

又∵ BE⊥AC，

∴BE⊥ED

∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24.           ……………4分

②如图，当点P在BC上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似.

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3.

∴∠2不与∠3对应 .

∴∠2与∠1对应 .

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3 . 

过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点 .

可证 △OGC∽△BOC .

∴ CG:CO＝CO:BC .

即 CG:3＝3:5 .

∴ CG= .

∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .

∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.

∴ x＝                               

∴ BP＝ .         

【解析】略