Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

1.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

2.（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

3.（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

Answer

1.（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.

设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.

则

解得

∴ ．

2.（2）由＝．

∴ 顶点坐标为G（1，）．

过G作GH⊥AB，垂足为H．

则AH＝BH＝1，GH＝－2＝．

∵ EA⊥AB，GH⊥AB，

∴ EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位线 ．

∴EA＝3GH＝．

过B作BM⊥OC，垂足为M ．

则MB＝OA＝AB．

∵ ∠EBF＝∠ABM＝90°，

∴ ∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．

∴ R t△EBA≌R t△FBM．

∴ FM＝EA＝．

∵ CM＝OC－OM＝3－2＝1，

∴ CF＝FM＋CM＝．……………5分

3.（3）要使四边形BCGH的周长最小，可将点C向上

    平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，

得点C1的坐标为（－1，1）．

     可求出直线BC1的解析式为．

     直线与对称轴x＝1的交点即为点H，坐标为（1，）．

点G的坐标为（1，）

【解析】略