Question

（10分）若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．

(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形；

(2) 如图②，当∠EAB=30°，AB＝12，AD=时，求AM的长．

 

Answer

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°.

∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC.

∴△ABE≌△ACD.

∴CD=BE.    ……………………………………………………………………1分

∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

  即BM=BE，CN=CD.

∴BM= CN.

又AB=AC，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．  ………………………………………………2分

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°．

∴△AMN是等边三角形．    …………………………………………………3分

（2）【解析】
作EF⊥AB于点F，

在Rt△AEF中，

∵∠EAB=30°，AE=AD=，

∴EF=.     …………………………………………………………………4分

∵M是BE中点，

作MH⊥AB于点H，

∴MH∥EF，MH=EF=.    ……………………………………………5分

取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE.

∴∠MPH=30°，MP=．

∴在Rt△MPH中，PH=.

∴AH=AP+PH=.    .………………………………………………………6分

在Rt△AMH中，AM=.  .…………………………7分

【解析】略