Question

（本小题满分14分）

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。设抛物线的顶点为D，求解下列问题：

1.（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；

2.（2）过点D作DF∥轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；

3.（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由。

Answer

1.【解析】
（1）设抛物线的解析式为

  把（0，3）代入，解得，

   解析式为-----------------------2分

则点的坐标为（1，4）-----------------------2分

2.（2）设直线BC的解析式为，把B（3，0）代入，

解得，所以

∴DF=   -----------------------2分

△BCD的面积=   --------------2分

3.（3）①点即在抛物线上，CD=，BC=，。

∵，，∴ ∴，

这时与点重合点坐标为----------------------------------2分

②如图（4），若为，作QF⊥轴于，

轴于

可证

有

则点坐标

即

化简为

即

解之为或

由得坐标：----------2分

③若为

如图（5），延长交轴于，

作轴于，

轴于

可证明

即

则

得，

解法（1）过Q作QG∥轴交DE于点G，∴，，

∴，  ，解得（舍去），

代入解得，为

解法（2）点的坐标为

所在的直线方程为

则与的解为，得交点坐标为···················· 2分

即满足题意的点有三个，，

【解析】略