Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，BC=3，CD=1.

(1)求证tan∠AEC=；

(2)请探究BM与DM的关系，并给出证明.

Answer

(1)见解析

(2)见解析

【解析】（1）由△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，易证得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得

，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=，即可证得结果；

（2）首先过点M作MN⊥BD，垂足为N，易得AB∥MN∥ED，又由点M是AE的中点，易得N是BD的中点，然后利用线段垂直平分线的性质，即可证得BM=DM．

（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，；

∴AB=BC，CD=DE，

∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，

∴∠ACE=90°；

∵△ABC∽△CDE，

，

∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=，

∴tan∠AEC=；

（2）BM=DM．

（3）证明：过点M作MN⊥BD，垂足为N，

∵∠ABC=∠EDC=90°，

∴AB⊥BD，ED⊥BD，

∴AB∥MN∥ED，

∴AM：EM=BN：DN，

∵点M是AE的中点，

即AM=EM，

∴BN=DN，

∴BM=DM．