Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=β，∠BOC=．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）当β=110°，α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．

（2）探究：若β=110°，那么α为多少度，△AOD是等腰三角形？（只要写出探究结果）

（3）请写出△AOD是等边三角形时α、β的度数．

Answer

（1）直角三角形；（2）α=125°或110°或140°；（3）当α=120°且β=120°，△AOD是等边三角形．

【解析】本题主要考查旋转的性质和全等三角形判断的知识点

（1）根据旋转的性质将△BOC绕点C按顺时针方向旋转∴190°-α=α-60°得△ADC，即可证明△COD是等边三角形，∠ADO=∠ADC-∠CDO即可证明△AOD是直角三角形；

（2）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答；

（3）当△AOD是等边三角形时，根据等边三角形的性质即可求出α、β的度数．

（1）△AOD是直角三角形，理由如下：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转∴190°-α=α-60°得△ADC

∴△BOC≌△ADC，∠DCO=190°-α=α-60°

∴CO=CD，∠ADC=∠BOC=α=150°

∴△COD是等边三角形

∴∠CDO=∴190°-α=α-60°

∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°

∴△AOD是直角三角形，

（2）当α=125°或110°或140°，△AOD是等腰三角形，

（3）当α=120°且β=120°，△AOD是等边三角形．