Question

如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S_{四边形AEDF}＝S_△ABC；④EG+FH＝BC，其中正确的有（    ）个 

A、1          B、2         C、3          D、4

Answer

D

【解析】本题考查等腰三角形及直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质

考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题，利用全等三角形判断线段相等，例如在①中，可求解Rt△EGD≌Rt△DHF，同样后面几问也都可用全等解答．

如图所示，

∵DE⊥DF，∴∠EDG+∠FDH=90°

∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH，

∴Rt△EGD≌Rt△DHF，∴DE=DF，①正确；

连接AD，由①得，DE=DF，

∵DC=AD，∠FDC=∠ADE，

∴可证△AED≌△CFD，

∴FC=AE，∴AE+AF=AB，②正确，

∵BE=AF，∠CAD=∠B=45°，AD为公共边，

∴△ADF≌△DEB，又△AED≌△CFD，∴③也正确，

④中由①得GD=FH，又∠B=45°

∴BG=EG，EG+FH＝BC，，④正确

∴①②③④都正确，故选D．