Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F.

（1）求证：OE是CD的垂直平分线.

（2）若∠AOB=60º，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论。

Answer

（1）见解析；（2）OE=4EF

【解析】本题考查的是角平分线的性质，垂直平分线的判定，含30 º的直角三角形的性质

（1）先根据角平分线的性质得到Rt△OED≌Rt△OEC，即可得到结论；

（2）由OE平分∠AOB可得∠AOE=∠BOE=30º，根据含30 º的直角三角形的性质即可得到结果。

 (1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA

∴ED=EC

∵OE=OE

∴Rt△OED≌Rt△OEC

∴OC=OD

∵OE平分∠AOB

∴OE是CD的垂直平分线.

（2）OE=4EF

理由如下：

∵OE平分∠AOB，∠AOB=60º，

∴∠AOE=∠BOE=30º

∵ED⊥OA

∴OE=2DE

∵∠EFD=90º，∠DEO=90º-∠DOE=90º-30º=60º

∴∠EDF=30º

∴DE=2EF

∴OE=4EF