Question

如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E，与AB相切于点F，连接EF。

（1）判断EF与AC的位置关系（不必说明理由）；；

（2）如图（2），过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG，判断四边形ADEG的形状，并说明理由。

（3）求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心．

Answer

（1）EF∥AC；（2）四边形ADEG为矩形。

【解析】

试题分析：（1）根据∠EFB与∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等边三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE为等边三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可证明EF∥AC；

（2）根据圆切BC于E，EG为直径，AD=EG，AD⊥BC，可判定四边形ADEG为矩形；

（3）由（1）（2）的结论，证明AC垂直平分FG；再根据垂径定理，可知AC必过圆心，又EG为直径，所以AC与GE的交点O为此圆的圆心．

（1）EF∥AC；

（2）四边形ADEG为矩形。

理由：∵EG⊥BC，E为切点，

∴EG为直径，

∴EG=AD

又∵AD⊥BC，EG⊥BC，

∴AD∥EG，即四边形ADEG为矩形。

（3）连接FG，

由（2）可知EG为直径，

∴ FG⊥EF，

又由（1）可知，EF∥AC，

∴AC⊥FG，

又∵四边形ADEG为矩形，

∴EG⊥AG，则AG是已知圆的切线。

而AB也是已知圆的切线，则AF=AG，

∴ AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，

因此，圆心O就是AC与EG的交点。

说明：也可据△AGO≌△AFO进行说理。

考点：本题综合考查了矩形的判定和性质、切线的性质和垂径定理