Question

如图，BE、CF分别是 △ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

Answer

见解析

【解析】本题考查了三角形全等的判定和性质

（1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根据SAS证得△QAC≌△APB即可；

（2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．

（1）证明：∵AC⊥BE，AB⊥QC      （2）∵△QAC≌△APB

∴∠BFP=∠CEP=90°                     ∴∠AQF=∠PAF

又∵∠FBP=∠EPC                        又AB⊥QC

∴∠FBP=∠ECP                          ∴∠QFA=90°

在△QAC的△APB中                     ∴∠FQA+∠FAQ=90°

BP=AC                                  ∴∠FQA+∠PAF=90°

∠FBP=∠ECP                            即∠PAQ=90°

CQ=AB                                  ∴AP⊥AQ

∴△QAC≌△APB（SAS）

∴AP=AQ