Question

如图所示，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得△A₁BC_1，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点。

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求ED的长。

Answer

（1）（2）四边形是菱形. （3）ED

【解析】

试题分析：（1）根据等边对等角及旋转的特征可得即可证得结论；

（2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论；

（3）过点作于点，解可得AE的长，结合菱形的性质即可求得结果。

（1）

证明：（证法一）

由旋转可知，

∴

∴又

∴即

（证法二）

由旋转可知，而

∴

∴∴

即

（2）四边形是菱形.

证明：同理

∴四边形是平行四边形.

又∴四边形是菱形.

（3）过点作于点，则

在中，

由（2）知四边形是菱形，

∴

∴

考点：本题考查的是旋转的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形