Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．

（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；

（2）求这个二次函数关系式；

（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？

Answer

（1）A（3-m，0），D（0，m-3）；（2）y=x2-2x+1；（3）当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．  

【解析】

试题分析：（1）根据点C的坐标求出OC、BC的长度，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可定的AC=BC，然后求出OA的长度，从而得到点A的坐标，再根据∠OAD=45°求出OD=OA，从而得到点D的坐标；

（2）利用顶点式设出二次函数解析式，然后把点B、D的坐标代入，根据待定系数法求解即可；

（3）根据抛物线解析式设出点Q的坐标，然后过点Q作QM⊥AC于点M，再根据S四边形ABQP=S△ABC-S△PQM-S梯形BCMQ，然后根据三角形的面积公式以及梯形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可．

（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，

又∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m-3，

∴点A的坐标是（3-m，0），

∵∠ODA=∠OAD=45°，

∴OD=OA=m-3，

则点D的坐标是（0，m-3）；

（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，

所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2，

将D，B坐标代入：a（3-1）2=m，a（0-1）2=m-3，

得：a=1，m=4，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1，

B坐标（3，4），A（-1，0）；

（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，

设点Q的坐标是（x，x2-2x+1），

则PM=（x-1），QM=x2-2x+1，MC=（3-x），

∴S四边形ABQP=S△ABC-S△PQM-S梯形BCMQ

=-x2+4x+1

=-（x-2）2+5，

所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．

考点：本题考查的是二次函数的应用