Question

已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。

（1）如图（1），若是⊙的直径，求证：；（4分）

（2）如图(2)，若是⊙外一点，求证：；（4分）

（3）如图（3），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。（3分）

Answer

（1）（2）见解析 ；（3）成立

【解析】

试题分析：（1）如图①，连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得为⊙的直径，又，为的中点，即可证得结论；

（2）如图②，连接，并延长交⊙与点，连，根据圆内接四边形的对角互补，可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即得，从而证得结论；

（3）如图③，连接，并延长交⊙与点，连，由，，可得，即得，从而证得结论；      

（1）如图①，连接，

∵为⊙的直径     

∴

∴为⊙的直径     

∴在上

又，为的中点

∴△是以为底边的等腰三角形

∴；

（2）如图②，连接，并延长交⊙与点，连

∵四边形内接于⊙   

∴

又∵               

∴

∴

又为⊙的直径          

∴

∴；

（3）如图③，连接，并延长交⊙与点，连

∵

又

∴      

∴       

又

∴.

考点：本题考查的是圆的综合应用