Question

如图，已知直线PA交⊙O于A.B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CDPA⊥，垂足为D.

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

Answer

（1）见解析；（2）6

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC结合CD⊥PA可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，即可证得CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，则OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

（1）如图，连接OC．

∵点C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．                

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．      

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO．     

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．       

又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

∴CD为⊙O的切线；    

（2）如图，过O作OF⊥AB，垂足为F，  

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，             

∴四边形DCOF为矩形

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5-x）2+（6-x）2=25，

化简得x2-11x+18=0，解得x=2或x=9．

∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，

∴x=2，

∴AD=2，AF=5-2=3，

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，

∴AB=2AF=6．

考点：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质以及垂径定理