Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）若抛物线过A.B两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？ 若存在求出P的坐标，不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值.

Answer

（1）y=﹣x2+x+；（2）P（1±，）；（3）最大值为．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，根据勾股定理即可求得点B的坐标，再结合A（3，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P，由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；

（3）作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．

（1）如图，连接OB．

∵BC=2，OC=1

∴OB==

∴B（0，）

将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式

得，解得，

∴y=﹣x2+x+；

（2）如图，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P，

∵B（0，），O（0，0），

∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，

得﹣x2+x+=；

解得x=1±，

∴P（1±，）；

（3）如图，作MH⊥x轴于点H．

设M（xm，ym），

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB

=（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣×3×

=xm+ym﹣                     

∵ym=﹣xm2+xm+，

∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣

=xm2+xm

=（xm﹣）2+   

∴当xm=时，S△MAB取得最大值，最大值为．

考点：本题考查的是二次函数的性质、圆的性质、垂直平分线，勾股定理