Question

（本题12分） 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？并说明理由；

（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并说明你的理由．

Answer

（1）EFGH为平行四边形（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形（3）EF⊥BC，EF=BC

【解析】

试题分析：【解析】
（1） EFGH为平行四边形

理由：∵G、F、H分別是BE、BC、CE的中点

∴GF∥EC ，FH∥BE∴ EFGH为平行四边形 ……4分

（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形

理由：∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AB=CD ∠A=∠D

∵AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

∵G、H分別是BE、CE的中点

∴GF=BE,FH=CE

∴GF=FH

∵ EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH是菱形……4分

（3）EF⊥BC,EF=BC

理由：∵ 四边形EGFH是正方形

∴EG=EH,∠BEC=90°

∵BE=CE,F为BC的中点，

∴EF⊥BC，EF=BC……4分（答对一半得2分）

考点： 本题考查了多边形的判定