Question

（2005•郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer

正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关系了，由于AE+EB=CD，所以S△ADE+S△BCE=S△CDE在这三个图形中都成立；梯形不具备这一特征，就不一定成立．
【解析】
①S△ADE+S△BCE=S△CDE
方法1：同底同高
S△ADE+S△BCE=．
方法2：因为过E作EF∥BC交DC于F，则四边形AEFD和EBCF是矩形
所以S△AED=S△EFD，S△EBC=S△EFC，
所以S△ADE+S△BCE=S△EFD+S△EFC=S△DEC．

②四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上
当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立．

③当四边形ABCD是梯形时，①中结论当E点为AB中点时成立，其它情况不成立不成立．
理由如下：
设S△ADE=S1，S△BCE=S2，S△DEC=S3，
梯形ABCD上底为a，下底为b面积为S，如图．
则=
如果S△ADE+S△BCE=S△DEC，则有，a（h1-h2）=b（h1-h2）．
如果h1=h2，则E为AB中点，如果h1≠h2，则a=b，四边形ABCD是平行四边形．