Question

（2003•桂林）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA²-AF²=4CE•EA；
（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）连接OD、ED为⊙O切线，由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．
（2）连接BF，AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知
ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF，将CF=2CE代入即可得出所求的结论．
（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．
（1）证明：连接OD，
∵ED为⊙O切线，∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）【解析】
∵，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知△OAD为等边三角形，
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA=r，ED=r；
∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=
=．