Question

（2005•吉林）图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形．

（1）直接写出单位正三角形的高与面积；
（2）图1中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图1中线段AC的长（可作辅助线）；
（4）求出图2中四边形EFGH的面积．

Answer

（1）由正三角形的边长为1，做底边上的高h，利用勾股定理可求h=，S△=；
（2）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有24个，那么S▱=6；
（3）作BC边上的高AK，垂足为K，据图可知，∠B=60°，则∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=，AK=，CK=，利用勾股定理，可求AC=；
（4）如图，可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，SFPGM=6S△，故S△FGM=3S单位正三角形，同理可得其他部分的面积，于是SEFGH=（3+4+8+9+8）×=．
【解析】
（1）单位正三角形的高为，面积为．（1分）

（2）平行四边形ABCD含有24个单位正三角形．（2分）
其面积为（3分）

（3）过点A作AK⊥BC于K（如图1）．
在Rt△ACK中，AK=，．
∴（4分）

（4）解法一：如图2所示，将四边形EFGH分割成五部分．
以FG为对角线构造平行四边形FPGM，
∵平行四边形FPGM中含有6个单位正三角形，
∴S△FGM=3S单位正三角形．
同理可得到其他四部分面积．
∴S四边形EFGH=（3+4+8+9+8）×=（8分）

解法二：如图3所示，构造平行四边形EQSR．
过点F作FT⊥QG于T，则
S△FQG=FT•QG=
同理可求S△GSH=，
S△EHR=，S平行四边形EQSR=18
∴S四边形EFGH=S平行四边形EQSR-S△FQG-S△GSH-S△EHR
=．（8分）