Question

（2005•淮安）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求的值．

Answer

（1）欲证：CD是⊙O的切线，只要转化为证明∠ODC=90°即可；
（2）连接PE，易证PE=CP，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，就可以得到．
（1）证明：连接OD、DA；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
又∠ABD=30°，
∴AD=AB=OA（2分），
∵AC=AO，
∴∠ODC=90°，
∴CD切⊙O于点D．（4分）

（2）【解析】
方法一：连接PE，
由（1）知∠DAB=60°；
∵AD=AC，
∴∠C=30°，（5分）
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴PE=CP，（7分）
∵PE=BP=R，CA=AO=OB=r，
∴3r=R，即．（8分）
方法二：连接PE，
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴OD∥PE，（6分）
∴=，
即．
∴．（8分）